笛卡尔的爱心函数解析式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中，$r$ 表示极坐标中的径向距离，$\theta$ 表示极角，$a$ 是一个正常数，用于控制心形线的大小。

补充说明：

参数 $a$ 的作用

当 $a$ 增大时，心形线的半径增大，心形变得更“饱满”；当 $a$ 减小时，心形线变细。

函数图像特征

该函数在极坐标系中绘制出对称的心形曲线，形状类似于两个圆相交形成的心形图案，中心对称且关于极轴对称。

历史背景

该函数源自笛卡尔与瑞典公主克里斯汀的爱情故事。笛卡尔在穷困潦倒时写下此公式寄给她，她通过绘制图像理解了其中蕴含的深情。

其他形式

该函数也可表示为极坐标下的参数方程：

$$

\begin{cases}

x = r\cos\theta = a(1 - \sin\theta)\cos\theta \\

y = r\sin\theta = a(1 - \sin\theta)\sin\theta

\end{cases}

$$

转换为直角坐标系方程为：

$$

(x^2 + y^2 - ay)^2 = a^2(x^2 + y^2)

$$

该方程在数学和物理学中也有广泛应用，如描述电子轨道等。

通过以上解析，可见笛卡尔的爱心函数不仅是数学上的经典范式，更是科学与情感交融的象征。