关于布朗运动概率计算，综合相关搜索结果，主要涉及以下内容：

一、布朗运动的基本数学模型

随机微分方程

标准布朗运动满足一阶线性微分方程：

$$dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma \sqrt{dt} \, dW_t$$

其中，$S_t$ 表示资产价格，$\mu$ 为 drift（漂移率），$\sigma$ 为 volatility（波动率），$W_t$ 为标准布朗运动。

解的形式

通过积分可得：

$$S_t = S_0 \exp\left( \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t \right) \cdot \exp\left( \sigma W_t \right)$$

由于 $\exp（\sigma W_t）$ 服从正态分布 $N（0, \sigma^2 t）$，因此 $S_t$ 服从对数正态分布。

二、布朗运动的首次穿越边界概率

基本定义

首次穿越曲线边界 $\partial B（t）$ 的时间记为 $T_{\partial B}（t）$，其分布函数为：

$$P(T_{\partial B}(t) \leq t) = \Phi\left( \frac{\sqrt{t}}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\frac{\sqrt{t}}{\sigma} \right) = 2\Phi\left( \frac{\sqrt{t}}{\sigma} \right) - 1$$

其中 $\Phi$ 为标准正态分布的累积分布函数。

近似计算方法

当边界为复杂曲线时，可通过逐段线性逼近（如多项式拟合）计算。例如，用次数不超过2的多项式 $P（z）$ 近似连续函数 $\phi（z）$，并通过切比雪夫定理选择最佳逼近多项式。

三、布朗运动在金融中的应用

资产定价

布朗运动是Black-Scholes模型等金融衍生品定价的核心假设，用于描述资产价格的随机波动。

风险管理

通过模拟布朗运动路径，评估投资组合在不同市场条件下的风险。

四、注意事项

上述模型假设市场是连续的，实际应用中需考虑离散时间步长。

波动率 $\sigma$ 的选择对结果影响显著，需结合历史数据或模型估计。

以上内容综合了布朗运动的基本理论、数学建模及应用场景，为概率计算提供了全面的框架。