笛卡尔心形函数（极坐标方程）的推导过程主要涉及极坐标与直角坐标的转换及三角函数的应用，具体步骤如下：

一、函数形式选择

心形曲线通过极坐标方程 \（ r = a（1 - \sin\theta） \） 描述，其中：

\（ r \） 表示极径（原点到点的距离）；

\（ \theta \） 表示极角（与极轴的夹角）；

\（ a \） 是控制心形大小的常数。

二、极坐标与直角坐标转换

极坐标与直角坐标的转换关系为：

\[

x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta

\]

将 \（ r = a（1 - \sin\theta） \） 代入上述公式，即可得到直角坐标系中的参数方程：

\[

x = a（1 - \sin\theta）\cos\theta, \quad y = a（1 - \sin\theta）\sin\theta

\]

三、推导关键步骤

参数化描述

通过 \（ \theta \） 从 \（ 0 \） 到 \（ 2\pi \） 变化，观察 \（ r \） 的变化规律：

- 当 \（ \theta = 0 \） 时，\（ r = a \）（位于x轴正半轴）；

- 当 \（ \theta = \frac{\pi}{2} \） 时，\（ r = 0 \）（极点）；

- 当 \（ 0 < \theta < \pi \） 时，\（ r \） 从 \（ a \） 递减到0，形成心形的上半部分；

- 当 \（ \pi < \theta < 2\pi \） 时，\（ r \） 从0递增到 \（ a \），形成心形的下半部分。

三角函数特性

利用正弦函数的周期性和对称性，\（ \sin\theta \） 的取值范围为 \（[-1, 1]\），通过 \（ 1 - \sin\theta \） 实现心形的凹凸变化。

四、应用与扩展

该函数常用于数学教学、艺术设计及编程绘图（如Python的matplotlib库）；

参数 \（ a \） 可调整心形大小，\（ \theta \） 的取值范围可扩展以改变曲线形态。

总结

推导过程基于极坐标系的基本定义和三角函数的性质，通过坐标转换将极坐标方程转化为直角坐标方程，最终得到描述心形曲线的参数方程。该函数简洁而富有表现力，是数学与自然美结合的经典案例。