函数图像为心形的解析式主要有以下两种常见形式，分别适用于极坐标系和直角坐标系：

一、极坐标系下的心形函数

最经典的心形函数解析式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中，$r$ 表示极径，$\theta$ 表示极角，$a$ 为正常数（$a > 0$）。

特点：

1. 该函数具有旋转对称性，关于极轴对称。

2. 参数 $a$ 控制心形的大小，$a$ 越大，心形越宽。

3. 当 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ 时，可绘制出完整的心形。

补充说明：

该公式被称为“笛卡尔的爱情坐标公式”，传说中是莱布尼茨赠给卡瓦列里的情书。

二、直角坐标系下的心形方程

标准方程

$$x^2 + (y - \sqrt{x^2})^2 = a^2$$

其中心位于 $（0, a）$，半径为 $a$。

参数方程

$$x = a(1 - \cos\theta)$$

$$y = a\sin\theta$$

通过参数 $\theta$ 可生成完整心形。

三、其他形式的心形函数

极坐标变体：

$r = a（1 + \cos\theta）$ 也可表示心形，但形状与 $r = a（1 - \sin\theta）$ 不同，前者关于极点对称。

复杂表达式：如 $r = \frac{128\sqrt{e^{980}}}{（n+52.8）\times5 - 3.9343} - 10n$ 等特殊形式，但较为复杂且不常见。

四、应用与扩展

心形函数在数学、物理学及艺术领域有广泛应用，例如描述电子轨道、天体运动等。通过调整参数 $a$，可控制心形的规模，满足不同场景需求。