根据我国公安机关的规定，警察能否留胡子需根据职务需求和身份性质综合判断，具体规定如下：

一、一般警察（非执行特殊任务）

男性警察

除特殊任务需要外，男性警察不得留长发、大鬓角、卷发（自然卷除外）、剃光头或蓄胡须。若违反规定，可能面临批评教育、扣发津贴甚至纪律处分。

女性警察

不得留披肩发、描眉、涂口红、染指甲、戴耳环等首饰，发辫需束发且不得过肩。

二、特殊任务警察

卧底警察：

为执行秘密任务，卧底警察可蓄胡须，但需保持低调，避免被群众认出。

其他特殊场景：如医疗、技术类岗位，可能根据实际工作需要调整仪容。

三、相关规范依据

《人民警察警容风纪管理办法》

明确规定警察着装、仪容需保持整洁，男性禁留胡须，女性需符合仪容规范。

《公安机关人民警察内务条令》

第十六条明确禁止男性警察蓄胡须，女性警察发辫不过肩等。

四、现实情况说明

公众认知：部分公众通过影视作品（如《爸爸去哪儿》）形成的“八字胡警察”形象，属于艺术加工，与现实中的警容规范存在差异。

执法场景：交警等一线执法人员若因生理原因无法遵守仪容规定，通常以便服或特殊标识执行任务。

综上，警察能否留胡子需结合岗位需求，普通警察需严格遵守仪容规范，特殊任务人员则可能根据实际情况调整。