极限与级数是数学分析中的核心概念，二者存在密切关系。以下是关键要点：

一、极限是级数的基础

定义关系

级数收敛的必要条件是通项极限为0，即若$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

- 反之，若$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，则级数发散。

应用场景

通过级数展开（如泰勒级数）求解函数极限，例如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$通过$\sin x$的泰勒展开式求解。

二、级数收敛性判别

必要条件

通项趋于0是级数收敛的必要条件，但非充分条件（如调和级数通项趋于0但发散）。

充分条件

利用正项级数判别法（如比较判别法、比值判别法）判断收敛性。

三、极限与级数的运算性质

四则运算

若级数$\sum a_n$与$\sum b_n$收敛，则$\sum （a_n \pm b_n）$、$\sum （a_n \cdot b_n）$也收敛。

极限运算法则

极限的四则运算（加、减、乘、除）规则可类比应用于级数，但需注意收敛性。

四、实际应用

微积分基础：

极限定义导数和积分，级数用于近似计算（如泰勒级数展开）。

数学竞赛：通过级数方法求解复杂极限问题（如含阶乘、幂次的数列极限）。

总结：极限为级数收敛提供理论基础，而级数则是极限概念的延伸应用，二者在数学分析中相辅相成。