笛卡尔心形曲线是数学中经典的极坐标方程，其标准公式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中：

$r$ 表示极坐标系中点到原点的距离；

$\theta$ 表示极角（与极轴的夹角）；

$a$ 是常数，决定心形的大小。

公式解析

极坐标方程

该方程通过极坐标 $（r, \theta）$ 描述心形曲线，当 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时，$r$ 的变化轨迹形成心形。

参数化形式

- 水平方向：

$x = a（1 - \sin\theta）$

- 垂直方向：$y = a（1 - \sin\theta）$

通过参数化可以得到笛卡尔坐标系下的表达式：

$$x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2 + y^2}$$

或者变形为：

$$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$$

绘制与应用

绘制方法：在极坐标系中，固定 $\theta$ 值，计算对应的 $r$ 值，连接各点即可形成心形。

技术分析：在股票软件中，该公式可变形为波动率指标（如HHV），用于分析股价波动趋势。

历史背景

该公式源自法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）1650年写给情人克里斯汀公主的一封信，传说中他以此公式向她表达爱意。

通过调整参数 $a$，可以控制心形的大小，$a$ 越大，心形越显著。