向心加速度的公式是描述物体在圆周运动中速度方向变化快慢的物理量，其核心公式及推导如下：
一、基本公式
基本表达式 $$a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r = v\omega$$
其中：
- $a_n$：向心加速度
- $v$：线速度
- $r$：圆周运动半径
- $\omega$：角速度
- $T$：周期
- $f$：频率
向心力与向心加速度的关系
向心加速度由向心力提供，根据牛顿第二定律：
$$F_{\text{向}} = m a_n = m \frac{v^2}{r}$$
其中 $F_{\text{向}} = m\omega^2 r = mr\left（\frac{2\pi}{T}\right）^2$。
二、公式推导关系
角速度与线速度的关系
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = 2\pi n \quad (n \text{为转速})$$
代入向心加速度公式得：
$$a_n = v\omega = \frac{v^2}{r}$$。
周期与频率的关系
$$T = \frac{1}{f}$$
代入得：
$$a_n = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r$$。
三、物理意义
方向： 始终指向圆心，与线速度方向垂直； 作用
特性：反映速度方向变化快慢，属于变加速运动（加速度方向时刻变化）。
四、注意事项
公式中的 $\omega$ 需用弧度制表示；
半径 $r$ 通常指圆周运动的轨道半径，而非物体到圆心的距离。
通过以上公式及关系，可灵活解决圆周运动中速度方向变化相关的问题。
