幂函数的定义及相关性质如下：

一、基本定义

幂函数是形如 y = x^a的函数，其中：

x是自变量；

a是常数（实数）；

y是因变量。

二、与指数函数的区别

幂函数与指数函数的核心区别在于自变量的位置：

幂函数：自变量 x在底数位置，指数 a为常数（如 y = x²）；

指数函数：自变量 x在指数位置，底数通常为常数（如 y = 2^x）。

三、定义域与值域

定义域

- 当 a为正整数时，定义域为全体实数 R；

- 当 a为负整数时，定义域为 x ≠ 0（如 y = x⁻¹ = 1/x）；

- 当 a为分数时，若分母为偶数，则定义域为 x ≥ 0（如 y = x^（1/2） = √x）。

值域

- 当 a > 0时，值域为 （0, +∞）；

- 当 a < 0时，值域为 （0, +∞）；

- 当 a = 0时，值域为 {1}（如 y = x⁰ = 1）。

四、特殊性质

过定点

所有幂函数图像均通过点 （1, 1）。

单调性

- 当 a > 1时，函数在 [0, +∞） 上单调递增且下凹；

- 当 0 < a < 1时，函数在 [0, +∞） 上单调递增且上凸；

- 当 a < 0时，函数在 （0, +∞） 上单调递减。

奇偶性

- 当 a为整数时，幂函数可能为奇函数（如 y = x³）或偶函数（如 y = x²）；

- 当 a为分数时，若分母为奇数，则函数为奇函数；若为偶数，则为偶函数。

五、常见幂函数示例

| 幂指数 a | 函数形式 | 定义域 | 值域 | 图像特征 |

|----------|----------------|----------------------|--------------------|------------------------|

| 2| y = x² | R| [0, +∞） | 下凹抛物线 |

| 3| y = x³ | R| R | 上凸曲线 |

| 1/2 | y = √x | [0, +∞） | [0, +∞） | 右半抛物线 |

| -1 | y = 1/x | （-∞, 0） ∪ （0, +∞） | （-∞, 0） ∪ （0, +∞） | 双曲线 |

以上内容综合了幂函数的定义、分类及关键性质，涵盖初等数学中的核心要点。