根据搜索结果，《Day by Day》是韩国电视剧《魔女幼熙》（又名《魔女柔熙》）的主题曲。具体信息如下：

主题曲归属

该歌曲由韩国歌手조관우演唱，收录于电视剧《魔女幼熙》的官方原声带中，时长4分钟。

其他关联信息

- 同名歌曲《Day by Day》（T-ara版本）是2012年发行的音乐作品，与电视剧无关。

- 部分非官方来源提到该歌曲与电影《卡罗尔与星期二》相关，但权威性较低且信息矛盾，需谨慎参考。

综上，用户问题中提到的《Day by Day》作为电影主题曲的答案应为《魔女幼熙》。