笛卡尔心形曲线公式是数学中著名的极坐标方程，其标准形式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中：

$r$ 表示极坐标系中从极点到曲线上某一点的距离；

$\theta$ 表示该点与极轴的夹角；

$a$ 是常数，决定心形曲线的大小和形状。

公式解析

极坐标形式

该公式为极坐标下的心形线方程，通过改变参数 $\theta$ 可以绘制出完整的心形曲线。

参数方程

可以转换为直角坐标系下的参数方程：

$$

\begin{cases}

x = a(1 - \sin\theta)\cos\theta \\

y = a(1 - \sin\theta)\sin\theta

\end{cases}

$$

其中 $\theta$ 的取值范围通常为 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。

几何特性

- 当 $a = 1$ 时，心形线为标准形态；

- 参数 $a$ 的变化会影响心形的大小，$a$ 越大，心形越扩展；

- 该曲线关于 $y$ 轴对称。

历史背景

该公式源自法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）与瑞典公主克里斯汀（Christine de Sweden）的传说。1650年，笛卡尔在穷困潦倒时向克里斯汀写信，信中仅附上此公式，后者通过解谜发现它描绘出心形，从而成为数学与爱情结合的象征。

应用领域

数学教育：

常用于解析几何和极坐标系的教学案例；

技术分析：在股票软件中，类似公式被用于计算价格波动率（如HHV指标）。

综上，笛卡尔心形曲线公式不仅是数学史上的经典案例，也是科学与艺术结合的象征，其美学价值与数学严谨性并存。