笛卡尔心形函数是数学中用于描述心形曲线的经典函数，其解析式和性质如下：

一、标准解析式

笛卡尔心形函数的标准解析式为：

$$x^2 + (y - \sqrt{x^2})^2 = 1$$

或等价形式：

$$x^2 + y^2 - 2y\sqrt{x^2} = 1$$

进一步化简可得：

$$x^2 + y^2 - 2yx = 1$$

该方程在直角坐标系中描绘出对称的心形曲线，中心位于原点。

二、参数方程形式

极坐标形式

最经典的极坐标表达式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中，$r$ 表示极径，$\theta$ 为极角，$a$ 为常数参数，决定心形的大小。

参数方程

通过极坐标转换，可得参数方程：

$$x = a(\cos\theta - \sin\theta\cos\theta)$$

$$y = a(\sin\theta + \cos\theta\sin\theta)$$

令 $\alpha = \frac{\pi}{2}$，则简化为：

$$x = a\cos(2t)$$

$$y = b\sin(2t)$$

当 $a = b$ 时，心形变为十字形。

三、几何特性

对称性：

关于原点对称，也关于 $x$ 轴对称。

参数调整：通过改变参数 $a$ 可调整心形的大小，$a$ 越大，心形越宽。

应用领域：广泛应用于数学（如电子轨道、天体力学）和工程领域。

四、历史背景

该函数由17世纪数学家勒内·笛卡尔提出，传说中他曾用此函数向情人表达爱意，故得名“笛卡尔心形函数”。

以上解析式和性质综合了多种数学表示方法，可根据具体需求选择使用。