有理数是数学中一个基础概念，其定义和性质如下：

一、定义

有理数是整数和分数的统称，具体包括：

整数：

正整数（如1, 2, 3）、零（0）、负整数（如-1, -2, -3）；

分数：

可以表示为两个整数之比$\frac{p}{q}$（其中$p$和$q$为整数，且$q \neq 0$）的数，包括有限小数和无限循环小数。

二、小数表示

有限小数：如0.25、3.14，均能表示为分数（$\frac{1}{4}$、$\frac{157}{50}$）；

无限循环小数：如0.333...（$\frac{1}{3}$）、0.666...（$\frac{2}{3}$），也能表示为分数形式。

三、与无理数的区别

无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，例如$\pi$（3.14159...）、$\sqrt{2}$（1.4142135...）。

四、历史背景

“有理数”一词来源于英文“rational number”，其中“rational”对应中文的“有理”，意为“可表示为比例的数”。这一命名归功于明代数学家徐光启的翻译。

五、应用与重要性

有理数是实数体系的基础，贯穿代数、几何、统计等数学领域，并在工程、物理等学科中有广泛应用。

综上，有理数通过整数和分数的结合，构建了数轴上的连续统，是数学分析的基石之一。