关于手机丢失后通过支付费用赎回的问题，需根据具体情况分析处理方式及时间限制：

一、拾得人索要费用的情形

不当得利纠纷

若拾得人以“感谢金”等名义索要费用，且存在以下情形之一，可能构成不当得利：

未承诺免费保管

事后反悔要求加价

明知无合法依据占有

根据《民法典》规定，失主可要求返还不当得利，但需通过诉讼程序解决，时间无固定期限。

道德义务或债务纠纷

若拾得人以履行道德义务（如送还失物）或虚构债务为由索要费用，则可能涉及诈骗。此时需通过公安机关调查取证后，通过刑事或民事诉讼维权，时间同样无固定期限。

二、公安机关处理失物的流程

刑事案件中的扣押处理

若手机涉及盗窃等刑事案件，公安机关会依法扣留手机。根据《刑事诉讼法》规定：

与案件无关的财物应在 3日内解除查封、扣押并退还；

若案情复杂需延长，经批准可再延长30日。

行政案件中的扣押处理

若属于行政案件（如普通盗窃未达到刑事立案标准），扣押期限通常为 30日，特殊情况可延长30日。

三、建议处理步骤

保留证据

立即通过手机定位、监控录像等方式固定证据，证明手机来源及与拾得人的交易过程。

优先通过公安机关处理

若手机涉及犯罪行为，应立即报警，由公安机关依法处理并追回财物。

谨慎对待私人交易

避免因轻信“低价赎回”等说辞而支付费用，防止二次诈骗。若已支付费用，应通过法律途径追回。

总结

私人交易无时间限制：

若通过协商或诉讼要求返还款项，需根据诉讼程序推进，时间不定；

公安机关处理有明确期限：刑事或行政案件中的扣押物品，一般需在3-60日内退还。

建议优先通过法律途径维权，避免因小失大。