要计算 $\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ$，我们可以使用三角恒等式和特殊角的值。以下是详细的步骤解析：

方法一：利用三角恒等式

使用二倍角公式

我们知道 $\sin（2x） = 2 \sin（x） \cos（x）$，因此：

$$

\sin(72^\circ) = 2 \sin(36^\circ) \cos(36^\circ)

$$

将 $\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ$ 乘以 $\frac{\sin 36^\circ}{\sin 36^\circ}$：

$$

\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ \cdot \sin 36^\circ}{\sin 36^\circ}

$$

代入 $\sin（72^\circ） = 2 \sin（36^\circ） \cos（36^\circ）$：

$$

= \frac{\sin(72^\circ) \cdot \cos 36^\circ}{2 \sin 36^\circ}

$$

再次使用二倍角公式 $\sin（144^\circ） = 2 \sin（72^\circ） \cos（72^\circ）$：

$$

= \frac{\sin(144^\circ)}{4 \sin 36^\circ}

$$

由于 $\sin（144^\circ） = \sin（180^\circ - 36^\circ） = \sin 36^\circ$：

$$

= \frac{\sin 36^\circ}{4 \sin 36^\circ} = \frac{1}{4}

$$

方法二：利用特殊角的值

已知 $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

根据已知条件：

$$

\cos 72^\circ = 2 \cos^2 36^\circ - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

$$

解方程求 $\cos 36^\circ$：

$$

2 \cos^2 36^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} + 1 = \frac{\sqrt{5} + 3}{4}

$$

$$

\cos^2 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 3}{8}

$$

$$

\cos 36^\circ = \sqrt{\frac{\sqrt{5} + 3}{8}}

$$

计算乘积

由于 $\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ$ 是一个已知值，直接计算：

$$

\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{5} + 3}{8}}

$$

通过化简（过程较复杂），最终结果也是 $\frac{1}{4}$。

结论

无论使用哪种方法，$\cos 72^\circ \cdot \cos 36^\circ$ 的值均为 $\frac{1}{4}$。