系统函数是信号与系统领域中的核心概念，其特点可归纳如下：

一、数学定义与形式

系统函数是复变量 $s$ 或 $z$ 的有理函数，通常表示为：

$$H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}$$

其中，$A（z）$ 和 $B（z）$ 均为多项式，且分母 $A（z）$ 不为零。

二、零极点分布特性

极点与零点的共轭对称性

系统函数的极点（即分母多项式的根）和零点（即分子多项式的根）在复平面上关于虚轴对称。若极点为 $p = a + jb$，则其共轭复数 $\overline{p} = a - jb$ 也是零点。

收敛域特性

对于因果系统（单位脉冲响应 $h（n）$ 是因果序列），其系统函数 $H（z）$ 的收敛域包含单位圆，即 $|z| > 1$。

三、时域与频域关系

时域响应与频率响应

线性时不变离散系统的单位脉冲响应 $h（n）$ 与系统函数的关系为 $Y（z） = X（z）H（z）$。系统函数在单位圆上的值对应频率响应，即 $H（e^{j\omega}）$。

四、系统分类与特性

FIR系统

仅包含零点，无极点。

频率响应为窗函数，具有线性相位特性。

IIR系统

同时包含零点和极点。

频率响应可能具有非线性相位特性。

五、实际应用中的注意事项

因果性判断：

通过零极点分布可快速判断系统是否因果。若极点位于右半平面，则系统为非因果系统。

稳定性分析：极点位于左半平面时系统稳定，右半平面则不稳定。

系统函数作为信号与系统分析的基石，其特性为系统设计、稳定性分析及频域处理提供了重要理论支持。