一个代数系统要构成群，需要满足以下四个基本条件：

封闭性

对于代数系统中的任意元素 $a$ 和 $b$，运算 $*$ 的结果 $a * b$ 也必须属于该集合。例如，在整数集 $\mathbb{Z}$ 上的加法运算满足封闭性，因为任意两个整数的和仍为整数。

结合律

运算 $*$ 必须满足结合律，即对于任意元素 $a, b, c$，都有 $（a * b） * c = a * （b * c）$。例如，实数集 $\mathbb{R}$ 上的乘法运算满足结合律。

单位元（幺元）

存在一个元素 $e$，使得对于任意元素 $a$，都有 $a * e = e * a = a$。例如，在整数集 $\mathbb{Z}$ 上，加法的单位元是 $0$；在实数集 $\mathbb{R}$ 上，乘法的单位元是 $1$。

逆元

对于任意元素 $a$，必须存在一个元素 $b$，使得 $a * b = b * a = e$，其中 $e$ 是单位元。例如，在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，$3$ 的逆元是 $-3$，因为 $3 * （-3） = （-3） * 3 = 0$。

补充说明

有限性与无限性：

群可以是有限的（如 $\mathbb{Z}_5$）或无限的（如 $\mathbb{R}$）。- 特殊类型

若交换律成立，则称为 交换群（或阿贝尔群）；

若运算满足结合律但不一定交换，则称为 半群。

常见群示例

整数加法群$（\mathbb{Z}, +）$：满足所有群的条件，是无限交换群；

模运算群：如 $（\mathbb{Z}_{11}, \cdot）$（模11乘法），其中非零元素构成群。

若一个代数系统不满足上述任一条件，则无法构成群。例如，整数集 $\mathbb{Z}$ 在乘法运算下不满足逆元条件，因此 $（\mathbb{Z}, \cdot）$ 不是群。