系统的特征方程是控制工程和系统分析中用于描述系统动态行为的重要工具。其核心定义和作用如下：

一、基本定义

特征方程是使闭环传递函数分母为零的方程，通过求解该方程得到的根（即极点）决定了系统的动态特性，如响应模态、稳定性等。

二、典型形式与推导

对于线性时不变系统，其输入输出关系通常表示为微分方程，例如：

$$A\ddot{x} + B\dot{x} + Cx = D\dot{y} + Ey$$

对应的特征方程为：

$$Ar^2 + Br + C = 0$$

其中，$r$ 表示复频域中的频率变量，特征方程的根与系统极点直接相关。

三、核心作用

确定系统模态

特征方程的根（极点）决定了系统响应的频率成分，例如弹簧-阻尼系统通过特征方程分析可得到自然频率和阻尼比。

分析稳定性

根的实部决定了系统的稳定性：若所有根的实部均小于零，则系统稳定；若存在正实部根，则系统不稳定。

设计控制器

通过调整系统参数（如增益）改变特征方程的根，优化系统性能（如快速响应、稳态误差）。

四、扩展应用

特征方程不仅适用于微分方程，还广泛应用于其他数学对象，如矩阵特征方程、数列特征方程等。

总结

特征方程是系统分析的基石，通过解析根的性质，可以深入理解系统行为并实现精准控制。掌握特征方程的推导与分析方法，对于工程实践具有关键意义。