系统函数是信号与系统领域中的一个重要概念，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。具体来说，系统函数可以通过以下方式定义：

定义

系统函数是系统零状态响应的拉普拉斯变换与系统激励信号的拉普拉斯变换之比。

对于线性时不变（LTI）离散系统，系统函数可以表示为单位脉冲响应的z变换，即 $H（z） = \frac{Y（z）}{X（z）}$，其中 $Y（z）$ 和 $X（z）$ 分别是输出和输入信号的z变换。

性质

系统函数是一个具有实系数的复变量S的有理函数，即实有理函数。因此，它的极点和零点或者是实数而位于实轴上，或者是成共轭对的复数而位于与实轴对称的位量上。

系统函数的零极点分布图可以用来分析系统的稳定性、因果性和频率响应等特性。

应用

系统函数在分析和设计各种信号处理系统具有重要意义。通过系统函数，可以方便地求得系统的单位冲激响应、频率响应等，从而深入了解系统的行为。

在频域中，系统函数通常以复频响应函数的形式出现，即 $H（j\omega）$，其中 $\omega$ 是角频率。

综上所述，系统函数是信号与系统分析中的核心工具，通过它可以系统地理解和分析信号经过系统后的变化。