线性系统是数学模型中一种重要的概念，其核心特性可通过以下定义和性质进行描述：

一、基本定义

线性系统需同时满足 叠加性和 齐次性两个基本性质：

叠加性

若系统对输入信号$u_1（t）$的输出为$y_1（t）$，对输入信号$u_2（t）$的输出为$y_2（t）$，则对于任意常数$C_1$和$C_2$，系统对输入$C_1u_1（t） + C_2u_2（t）$的输出为$C_1y_1（t） + C_2y_2（t）$。

齐次性

若输入信号扩大$k$倍（即$ku（t）$），输出信号也扩大$k$倍（即$ky（t）$），系统保持这种比例关系。

二、数学表达

对于状态变量$x（t）$和输出变量$y（t）$，线性系统满足：

$$y(t) = A x(t) + B u(t)$$

其中$A$和$B$为常数矩阵，$x（t）$为状态向量，$u（t）$为输入向量。

三、典型应用

线性系统在工程和物理领域有广泛应用，例如：

自动控制：

如PID控制器

信号处理：如滤波器设计

通信系统：如无线信号传输模型

四、与非线性系统的区别

| 特性 | 线性系统 | 非线性系统 |

|--------------|-----------------------------------|-----------------------------------|

| 关系类型 | 量与量成比例（直线关系） | 不成比例（曲线关系） |

| 常见模型 | 线性微分方程（如$y'' + ay' + by = cu$） | 非线性微分方程（如$y'' + ay' + by = f（x,y）$） |

| 分析方法 | 线性化处理、叠加原理 | 需数值模拟或近似分析 |

五、补充说明

时不变性：若系统输入延迟$\tau$秒，输出仅延迟$\tau$秒且形状不变，则系统为线性时不变（LTI）系统。

简化应用：实际工程中常将非线性系统近似为线性系统以简化分析。

通过以上定义和性质，可以判断一个系统是否为线性系统，并利用线性系统的理论进行建模与分析。