线性系统是满足特定数学性质的动态系统，其核心特征包括叠加原理和线性关系。以下是具体定义和要点：

一、核心定义

线性系统需同时满足以下两个基本性质：

叠加原理

若系统对输入信号$x_1$和$x_2$的响应分别为$y_1$和$y_2$，则对于任意常数$a$和$b$，系统对输入$ax_1 + bx_2$的响应为$ay_1 + by_2$。即系统输出是输入的线性组合。

齐次性（均匀性）

若输入信号为0时，输出为0（零输入响应），则系统是齐次的。例如，若输入信号放大$k$倍，输出也放大$k$倍。

二、数学表达

线性系统的状态方程通常可以表示为线性微分方程或差分方程，例如：

$$

\dot{x} = Ax + Bu

$$

其中，$x$是状态变量，$u$是输入信号，$A$和$B$是常数矩阵。该方程满足叠加原理，因为输入信号的线性组合对应输出的线性组合。

三、典型特征

函数关系

线性系统的输出与输入呈直线关系（如$y = kx$），而非线性系统则表现为曲线关系（如抛物线、指数函数等）。

可分解性

线性系统的响应可分解为零输入响应（由初始条件决定）和零状态响应（由输入决定），便于分析。

四、实际应用

线性系统因分析简便，在工程领域应用广泛，例如：

无线通讯信号传输

自动控制（如PID控制）

机械系统（如弹簧-质量系统）

五、非线性系统的对比

非线性系统不满足叠加原理，其输出与输入的关系可能包含高次项（如平方、三角函数等），例如：

$$

y = \sin(x) + x^2

$$

这类系统需采用非线性分析方法（如数值模拟）。

综上，线性系统通过叠加原理和齐次性定义，其数学模型和实际应用均具有明确特征。