笛卡尔心形公式是数学中用于生成心形曲线的经典方程，其标准形式为：

$$r = a(1 - \sin\theta)$$

其中：

$r$ 表示极坐标系中的径向距离；

$\theta$ 表示极角（通常以弧度为单位）；

$a$ 是一个常数，控制心形的大小。

公式解析

极坐标与直角坐标转换

该方程是极坐标系下的表达式，若需转换为直角坐标系，可使用以下公式：

$$x = r\cos\theta = a(1 - \sin\theta)\cos\theta$$

$$y = r\sin\theta = a(1 - \sin\theta)\sin\theta$$

通过三角函数恒等式，可进一步化简为：

$$x^2 + y^2 - ax = a\sqrt{x^2 + y^2}$$

这是心形线的另一种常见极坐标方程形式。

参数方程形式

除极坐标外，心形线还可以表示为参数方程：

$$x = 16\sin^3 t$$

$$y = 13\cos t - 5\cos(2t) - 2\cos(3t) - \cos(4t)$$

其中 $t$ 为参数。

历史背景

该公式由17世纪法国数学家勒内·笛卡尔提出，传说中他以此公式向18岁的瑞典公主克里斯汀表达爱意。克里斯汀通过绘制该曲线的图形，解读出笛卡尔的深情，但笛卡尔在寄出第十三封信后去世，未完成后续解释。

应用与扩展

几何特性：

通过调整参数 $a$，可控制心形的大小；当 $a=1$ 时，对应单位圆内的标准心形。

美学应用：该公式被广泛应用于珠宝设计（如情侣对戒）、艺术创作及高级感设计中。

综上，笛卡尔心形公式不仅是数学中的经典范式，更承载着浪漫的文化象征意义。