三角形中线定理（阿波罗尼奥斯定理）是欧氏几何中描述三角形三边与中线关系的定理，其核心内容及性质如下：

一、定理内容

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。具体公式为：

$$AB^2 + AC^2 = 2(BI^2 + AI^2)$$

其中，$AI$ 是边 $BC$ 的中线，$I$ 为 $BC$ 中点。

二、证明方法（勾股定理法）

构造辅助线：

设 $AH$ 为 $BC$ 边上的高，$H$ 为垂足，$D$ 为 $BC$ 中点，则 $AD = \frac{1}{2}BC$。2. 应用勾股定理：

- $AB^2 = AH^2 + BH^2$

- $AC^2 = AH^2 + CH^2$

- $AI^2 = AH^2 + DI^2$

代数推导：

将 $BH = BD - DI$ 和 $CH = CD + DI$ 代入，结合 $BD = CD = \frac{1}{2}BC$，最终化简得到定理表达式。

三、性质补充

中线位置：

三角形的三条中线均在三角形内部，且交于重心（各中线长度的三分之二处）。2. 面积关系：每条中线将三角形分成面积相等的两部分。3. 中线长度公式：

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$

（其中 $m_a$ 是角 $A$ 所对中线长度）。

四、应用场景

该定理常用于解决与三角形边长、面积及几何构造相关的问题，尤其在几何证明和计算中具有重要作用。