绝对值是数学中一个非常重要的概念，其定义和性质如下：

一、基本定义

绝对值表示一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用符号“| |”表示。例如：

|5| = 5（正数的绝对值是它本身）

|-3| = 3（负数的绝对值是它的相反数）

|0| = 0（零的绝对值是零）

二、代数意义

正数和零：

若 $a \geq 0$，则 $|a| = a$；

负数：

若 $a < 0$，则 $|a| = -a$（即相反数）；

非负性：

任何数的绝对值都是非负的，即 $|a| \geq 0$。

三、几何意义

在数轴上，数 $a$ 的绝对值等于该点与原点之间的距离。例如，点 5 和点 -3 的距离为 $|5 - （-3）| = 8$。

四、扩展应用

绝对值的概念可以推广到更广泛的数学领域，如：

复数：复数 $z = a + bi$ 的绝对值为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$；

向量：向量 $\mathbf{v}$ 的模（绝对值）为 $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$。

五、重要性质

三角不等式：

对于任意实数 $a$ 和 $b$，有 $|a + b| \leq |a| + |b|$；

零的绝对值：

$|0| = 0$；

相反数的绝对值：

$|a| = |-a|$。

六、实际应用示例

温度差：温差计算如 $|−5℃ - 3℃| = 8℃$；

距离计算：两地距离如 $|x_1 - x_2|$。

绝对值是数学分析、代数运算及实际问题中不可或缺的工具，理解其定义和性质对于解决各类数学问题至关重要。