泊松分布是一种离散概率分布，主要用于描述在固定时间或空间内随机事件发生的次数。其核心特点如下：
一、核心特性
期望与方差相等 泊松分布的参数λ既是分布的期望值（E（X）=λ），也是方差（Var（X）=λ）。
可加性
若X₁和X₂是两个独立的泊松随机变量，参数分别为λ₁和λ₂，则X₁+X₂服从参数为λ₁+λ₂的泊松分布。
无记忆性
事件在任意时间点的发生次数与过去无关，即P（X > s + t | X > s） = P（X > t）。
离散性
取值范围为非负整数（0, 1, 2, …），概率质量函数为：
$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
其中λ是单位时间/空间的平均事件发生率。
分布形态
当λ较小时，分布右偏；随着λ增大，分布逐渐对称，趋近于正态分布。
二、其他重要性质
稀疏性： 适用于描述单位时间/空间内稀有事件的发生次数。 参数λ的意义
近似性：当二项分布的n很大且p很小时（如n≥20, p≤0.05），泊松分布可作为二项分布的近似，参数λ=np。
三、应用场景
电话呼叫中心：统计每小时来电次数。
自然现象：如放射性衰变、DNA序列变异等。
排队系统：描述服务请求到达频率。
四、与其他分布的对比
| 分布类型 | 适用条件 | 关键参数 |
|----------------|--------------------------------------------------------------------------|----------------|
| 泊松分布 | 独立事件、低概率、稀有事件 | λ（平均发生率） |
| 二项分布 | n次独立试验，每次成功概率p | n（试验次数），p（成功概率） |
| 正态分布 | 大样本近似，对称钟形曲线 | μ（均值），σ²（方差） |
通过以上特性和应用，泊松分布在概率论与统计学中具有广泛的应用价值。
