代数系统需要满足以下基本性质，这些性质共同定义了其结构和行为：

一、封闭性

对于代数系统中的二元运算$\ast$，若对于任意元素$a, b \in S$，都有$a \ast b \in S$，则称该系统满足 封闭性。这是代数系统最基本的要求，确保运算结果仍在系统内部。

二、结合律

若对于任意元素$a, b, c \in S$，都有$（a \ast b） \ast c = a \ast （b \ast c）$，则称运算$\ast$满足 结合律。结合律保证了运算顺序不影响最终结果。

三、幺元（单位元）

若存在元素$e \in S$，使得对于任意$a \in S$，都有$a \ast e = e \ast a = a$，则称$e$为系统的 幺元（或单位元）。

四、逆元

若对于任意元素$a \in S$，都存在元素$b \in S$，使得$a \ast b = b \ast a = e$，则称$b$为$a$的 逆元。注意，群（一种特殊代数系统）要求每个元素都有逆元，且逆元唯一。

五、消去律

若$a \ast b = a \ast c$，则$b = c$（左消去律）；若$a \ast b = b \ast c$，则$a = c$（右消去律）。消去律由幺元和逆元的存在推导得出。

六、无零元

若存在元素$0 \in S$，使得对于任意$a \in S$，都有$a \ast 0 = 0 \ast a = 0$，则称$0$为 零元。但群中 不存在零元，因为零元会导致逆元不存在。

补充说明

运算的实现：代数系统中的运算可以是二元运算（如加法、乘法）或多元运算（如矩阵乘法）。

特殊代数系统：在某些情况下，可能不要求运算满足交换律（如非交换群）或存在幺元（如独异点）。

以上性质共同刻画了代数系统的核心特征，不同代数结构（如群、环、域）在这些性质上可能存在差异。