线性时不变（LTI）系统是控制理论中的核心概念，其定义和性质如下：

一、线性系统的定义

线性系统需同时满足 叠加性和齐次性两个基本特性：

叠加性：

若输入信号$x_1（t）$产生输出$y_1（t）$，输入信号$x_2（t）$产生输出$y_2（t）$，则输入$ax_1（t） + bx_2（t）$产生的输出为$ay_1（t） + by_2（t）$；

齐次性：

若输入信号增大$k$倍（$k$为常数），输出也增大$k$倍，即$T（kx（t））=kT（x（t））$。

二、时不变系统的定义

系统参数不随时间变化，即输入信号在时间轴上平移时，输出信号的波形形状保持不变。数学表达式为：若$T[x（n）]=y（n）$，则$T[x（n-n_0）]=y（n-n_0）$，其中$n_0$为任意整数。

三、LTI系统的综合定义

LTI系统需同时满足叠加性和时不变性，即：

若输入$x_1（t）$产生输出$y_1（t）$，输入$x_2（t）$产生输出$y_2（t）$，则输入$a x_1（t） + b x_2（t）$产生$a y_1（t） + b y_2（t）$；

输入信号平移不改变输出波形，仅改变时间轴。

四、LTI系统的核心性质

单位脉冲响应表示：

LTI系统可用单位脉冲响应$h（n）=T[\delta（n）]$完全描述，任意输入$x（n）$的响应可表示为$y（n）=h（n-k）$，其中$k$为输入延迟；

频域分析的便利性：

LTI系统在频域具有可加性和时不变性，便于使用傅里叶变换、拉普拉斯变换等工具进行分析；

经典控制理论的基础：

LTI系统是经典控制理论（如状态空间法、传递函数法）的研究对象。

五、应用与扩展

LTI系统广泛应用于工程领域，如信号处理、控制系统设计等。实际系统中，完全线性的系统较少，但通过近似方法（如线性化）可有效分析。

综上，LTI系统通过叠加性和时不变性两个公理，构建了分析工具的坚实基础，是现代工程控制理论的核心框架。