系统特征方程是自动控制理论中用于描述系统动态行为的重要工具，其核心定义和作用如下：

一、基本定义

特征方程是使闭环传递函数分母为零的方程，通过求解该方程可得到系统的闭环极点，从而确定系统响应的运动模态。对于线性时不变系统，若输入输出关系为：

$$A\ddot{x} + B\dot{x} + Cx = D\dot{y} + Ey$$

其特征方程为：

$$Ar^2 + Br + C = 0$$

其中，$r$ 表示复频域中的频率变量（如 $s = \sigma + j\omega$）。

二、与开环传递函数的关系

开环传递函数 ：$G（s） = \frac{G_k}{1 + G_kH_k}$，其中 $G_k$ 和 $H_k$ 分别为开环传递函数。

特征方程的转换

- 若已知开环传递函数，特征方程为 $1 + G_kH_k = 0$，即 $A_k + B_kH_k = 0$（分子为零）；

- 若已知闭环传递函数，特征方程直接取分母为零，即 $1 + G（s）H（s） = 0$。

三、应用与意义

动态特性分析：

通过求解特征方程得到的极点位置，可分析系统的稳定性、阻尼比等动态特性；

模态分析：

极点的实部决定系统的自然频率，虚部决定阻尼特性，从而确定系统的运动模态；

系统设计：

在控制系统中，特征方程用于设计控制器参数以优化系统性能。

四、扩展应用

特征方程不仅适用于线性时不变系统，其概念可推广至矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等多种数学对象。

综上，系统特征方程是连接系统输入输出关系与动态行为的桥梁，通过特征方程可深入理解系统的内在机制。