系统的特征根是系统传递函数的特征方程的根，具体定义和性质如下：

一、定义与位置

传递函数极点

在连续时间系统中，特征根是传递函数的分母多项式的根，即系统特征方程的根。例如，对于二阶系统传递函数：

$$

\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + \xi\omega_n s + \omega_n^2}

$$

其特征方程为：

$$

s^2 + \xi\omega_n s + \omega_n^2 = 0

$$

该方程的根即为系统的特征根。

离散系统特征根

在离散时间系统中，特征根是系统传递函数的极点，即满足系统函数等于零的复数。例如，对于离散系统传递函数：

$$

H(z) = \frac{\sum_{k=0}^N a_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^M b_k z^{-k}}

$$

其极点由分母多项式的根确定。

二、与零点的关系

极点与零点的对应：

在连续系统中，每个极点对应一个零点，反之亦然。

根轨迹分析：根轨迹是开环传递函数极点随参数变化时，闭环极点的变化轨迹。例如，当参数$K$变化时，闭环极点（特征根）会在$s$平面上移动。

三、对系统性能的影响

稳定性：

- 若所有极点位于左半平面（实部为负），系统稳定；

- 若存在极点位于右半平面（实部为正），系统不稳定。

动态行为：

- 极点的位置决定了系统的响应速度（如阻尼比$\xi$）和振荡频率（自然频率$\omega_n$）。

四、其他应用场景

离散系统：特征根法可用于求解常系数齐次线性微分方程或递推数列的通项公式。

主成分分析：在统计学中，特征根法用于提取数据的主成分，与系统控制中的特征根概念不同。

综上，系统的特征根是描述系统动态特性的核心参数，通过分析极点的位置和性质，可以评估系统稳定性并预测响应行为。