微分系统是 系统科学的一个数学分支，主要研究随时间演变的微分系统的整体性质及其在扰动中的变化。微分系统可以包括各种类型的动态系统，例如常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）和偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs），它们在数学、物理、工程、经济学等多个学科中有着广泛的应用。

微分系统的主要类型

常微分方程 （ODEs）

描述一个变量随时间变化的规律。

例如：$y' = f（x, y）$，其中 $y$ 是关于 $x$ 的函数，$y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数，$f$ 是一个给定的函数。

偏微分方程 （PDEs）

描述多个变量之间的复杂关系。

例如：$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = f（x, y, t）$，其中 $u$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，$t$ 是时间。

微分系统的应用

神经网络：研究神经网络的动态行为和稳定性。

光学控制：分析和设计光学系统的控制策略。

人口动力学：模拟和分析人口增长和迁移等社会现象。

生物技术：研究生物分子和细胞层面的动态过程。

经济学：分析经济系统的动态变化和稳定性。

自动微分 （Automatic Differentiation, AD）

自动微分是一种高效准确的计算机程序求导技术，广泛应用于计算流体力学、大气科学、工业设计仿真优化等领域。它通过在程序执行过程中自动计算导数，避免了手动求导的复杂性和错误。自动微分技术可以与编程语言、计算框架紧密结合，成为人工智能框架的核心功能之一。

自动微分与其他微分技术的区别

手动微分：由人直接计算导数，耗时且容易出错。

数值微分：通过数值方法近似计算导数，精度较低但计算效率高。

符号微分：通过符号计算得到导数的表达式，但计算复杂度较高。

自动微分技术因其高效性和准确性，已经成为现代科学研究和工程应用中不可或缺的工具。