对偶系统是线性系统理论中一个重要的概念，主要用于描述输入输出矩阵之间的对称关系。根据搜索结果，对偶系统的定义和性质可总结如下：
一、基本定义
状态空间表示 对于线性定常系统，若系统$\Sigma$的动态方程为：
$$
\dot{x} = Ax + Bu, \quad y = Cx
$$
其对偶系统$\Sigma^*$的动态方程为：
$$
\dot{z} = A^Tz + C^T v, \quad w = B^T z
$$
其中，$x$为状态向量，$u$为输入向量，$y$为输出向量，$z$为对偶系统的状态向量，$v$为对偶系统的输入向量，$A$、$B$、$C$为原系统的输入输出矩阵，$A^T$、$B^T$、$C^T$为对偶系统的输入输出矩阵。
矩阵关系
原系统与对偶系统的输入输出矩阵满足转置关系：
$$
A = (B^T)^{-1}C^T, \quad B = C, \quad C = A^T
$$
即原系统的输入系数矩阵等于对偶系统输出系数矩阵的转置，反之亦然。
二、核心性质
可控性与可观性
- 若原系统$\Sigma$可控制，则对偶系统$\Sigma^*$可观；若$\Sigma$可观，则$\Sigma^*$可控。
- 可控性矩阵和能观性矩阵在对偶系统中保持互补关系：
$$
\begin{aligned}
C(A) &= B^T, \quad C^T(B^T) &= I \\
R(A^T) &= C, \quad R(C) &= I
\end{aligned}
$$
其中$R（A）$表示矩阵$A$的秩。
结构对称性
对偶系统的维度与原系统相反：若原系统为$r$输入$m$输出，则对偶系统为$m$输入$r$输出，且状态空间维度均为$n$。
三、应用与意义
对偶系统在控制理论中具有广泛的应用，例如：
控制设计： 通过分析对偶系统的能观性，可以设计出具有特定性能的控制器。 状态估计
对偶性原理表明，这种输入输出矩阵的转置关系是线性系统内在结构的必然结果，体现了系统在不同视角下的等价性。
