系统导数是流体力学中描述物理量随时间变化率的重要概念，其核心定义和应用如下：

一、基本定义

系统导数表示在固定控制体内，物理量随时间的变化率。具体来说：

控制体：流场中某一确定的空间区域，其边界称为控制面；

物理量：如质量、速度、压力等；

系统导数：物理量对时间的导数，反映该物理量随时间的变化快慢。

二、核心公式

系统导数的数学表达式为：

$$

\frac{d\boldsymbol{Q}}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla \boldsymbol{Q}}

$$

其中：

$\boldsymbol{Q}$ 表示物理量（如质量、速度场等）；

$\frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial t}$ 表示物理量对时间的偏导数；

$\boldsymbol{v}$ 是控制体内流体的速度场；

$\boldsymbol{\nabla \boldsymbol{Q}}$ 是物理量的梯度。

三、物理意义

质量守恒：

当物理量（如质量）守恒时，系统导数为零，即：

$$

\frac{dM}{dt} = \frac{\partial M}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla M} = 0

$$

速度场分析：

速度场的变化率可通过系统导数描述，例如：

$$

\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla \boldsymbol{v}}

$`

四、应用领域

流体力学：分析管道流动、湍流等现象；

热传导：研究热量随时间的变化规律；

天体力学：描述天体运动状态的变化。

五、与普通导数的区别

普通导数描述函数在某一点的变化率（如几何切线斜率），而系统导数描述的是随时间变化的动态过程，强调“随体”变化特性。

综上，系统导数是流体力学等领域的核心工具，通过数学建模揭示物理量的动态行为。