等价系统是线性系统理论中的一个重要概念，指两个线性系统在特定坐标变换下具有相同的动态特性。具体定义和性质如下：
一、定义
给定一个连续线性时变系统：
$$
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) \\
y(t) = C(t)x(t)
\end{cases}
$$
若存在一个可逆矩阵 $T（t）$（满秩且其元素为连续可微函数），使得在坐标变换 $x = T（t）x'$ 下，系统变为：
$$
\begin{cases}
\dot{x}'(t) = A(t)x'(t) + B(t)u(t) \\
y'(t) = C(t)x'(t)
\end{cases}
$$
则称原系统与变换后的系统为 代数等价系统，简称等价系统。
二、等价系统的核心性质
动态特性相同 等价系统具有相同的特征多项式、特征方程、极点集、传递函数矩阵和脉冲响应矩阵。
解的结构一致
输入解、输出解以及输入-输出解的零点集完全相同。
坐标变换的多样性
可以通过不同的可逆矩阵 $T（t）$ 实现等价变换，因此一个系统可能存在多个等价形式。
三、等价变换的数学表达
若 $x = T（t）x'$，则系统矩阵满足：
$$
A(t) = A(t), \quad B(t) = B(t), \quad C(t) = C(t)
$$
且基本解阵满足：
$$
\Phi^{(t,t_0)} = T(t)\Phi(t,t_0)T^{-1}(t_0)
$$
其中 $\Phi（t,t_0）$ 是 $A（t）$ 的基本解阵。
四、应用与意义
等价系统理论在控制工程、信号处理等领域有重要应用，例如：
系统简化： 通过坐标变换将复杂系统转化为更易分析的形式； 参数调整
综上，等价系统强调的是在不同坐标框架下系统本质属性的保持，而非物理结构或参数的简单匹配。
