系统函数是描述系统输入输出关系的数学函数，主要用于信号处理和控制系统中。其核心概念和表示方法如下：

一、定义与基本性质

数学表达式

线性时不变离散系统的系统函数 $H（z）$ 定义为单位脉冲响应 $h（n）$ 的Z变换，即：

$$

H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) z^{-n}

$$

对于线性时不变连续系统，系统函数也可表示为输入信号 $X（z）$ 与输出信号 $Y（z）$ 的Z变换之比：

$$

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}

$$

极点与零点

极点：满足 $H（z）=0$ 的复数 $z$，位于复平面的左半平面（对于稳定系统）。

零点：满足 $H（z）=\infty$ 的复数 $z$，成共轭对且关于虚轴对称。

频率响应

系统函数在单位圆上的取值（即 $|H（e^{j\omega}）|$）描述了系统的频率特性，常用于滤波器设计。

二、应用与扩展

离散系统

通过单位脉冲响应的Z变换，可以分析系统的稳定性、瞬态响应等特性。

连续系统

在连续系统中，系统函数通常表示为传递函数 $H（s）$，即输入拉普拉斯变换 $X（s）$ 与输出拉普拉斯变换 $Y（s）$ 的比值：

$$

H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}

$$

用于分析系统的稳定性、阻尼等特性。

系统分析工具

稳定性分析：

通过极点位置判断（如Routh-Hurwitz判据）。

频率响应设计：利用零极点配置实现特定滤波效果。

三、示例

考虑一个简单的离散系统，其单位脉冲响应为 $h（n） = [1, 2, 1]$，则其系统函数为：

$$

H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2} = \frac{1 - z^{-1}}{1 - z^{-2}} = \frac{z(z-1)}{(z-1)(z+1)} = \frac{z}{z+1}

$$

该系统函数在 $z=-1$ 处有极点，系统稳定。

总结

系统函数是信号处理和控制系统的核心工具，通过Z变换将时域信号转换为频域特性，便于分析、设计及优化系统性能。其极点、零点及频率响应等特性为系统设计提供了关键依据。