连续系统的数学模型主要有以下三种形式，可根据具体问题选择合适的方法：

一、微分方程模型

常微分方程（ODE）

连续系统最基本的数学模型，通过描述系统状态变量随时间的变化率来刻画系统行为。例如，线性定常系统的动态方程可表示为：

$$\mathbf{a}(t)\ddot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{b}(t)\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(t)$$

其中，$\mathbf{a}（t）$ 是系统矩阵，$\mathbf{b}（t）$ 是输入矩阵，$\mathbf{f}（t）$ 是外部输入，$\dot{\mathbf{x}}（t）$ 和 $\ddot{\mathbf{x}}（t）$ 分别是状态向量的速度和加速度。

偏微分方程（PDE）

对于多变量连续系统（如热传导、流体力学等），需使用偏微分方程描述。例如，热传导方程为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$

其中，$u$ 表示温度分布，$\alpha$ 为热扩散系数。

二、传递函数模型

传递函数通过系统输入输出信号的拉普拉斯变换表示，适用于线性定常系统。对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数 $G（s）$ 定义为：

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

其中，$Y（s）$ 和 $U（s）$ 分别是输出和输入的拉普拉斯变换。传递函数便于分析系统的稳定性、频率响应等特性。

三、状态空间模型

状态空间模型以状态向量、输入向量和输出向量的线性组合形式描述系统动态，适用于复杂非线性系统。状态空间方程为：

$$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t)$$

$$y(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t)$$

其中，$\mathbf{A}$ 是状态转移矩阵，$\mathbf{B}$ 是输入矩阵，$\mathbf{C}$ 是输出矩阵，$\mathbf{x}（t）$ 是状态向量，$\mathbf{u}（t）$ 是输入向量，$y（t）$ 是输出向量。该模型便于实现数值仿真和多自由度系统分析。

四、其他常用形式

积分方程：

适用于描述系统响应的累积效应，如RC电路的电压-时间关系。

差分方程：虽然主要用于离散系统，但部分特殊连续系统（如采样系统）也可用差分方程描述。

总结

连续系统数学模型的选择需结合系统特性：

线性时不变系统：优先考虑微分方程（常系数或状态空间）或传递函数；

复杂非线性系统：推荐状态空间模型；

多自由度物理系统：常采用结构动力学中的状态空间模型。

通过合理选择模型，可有效分析系统的动态行为、稳定性及优化设计。