系统的线性特性是工程领域中一个核心概念，尤其在信号处理、控制理论等领域具有广泛应用。其核心定义和特性如下：

一、线性系统的定义

线性系统是指满足叠加原理和时不变性的系统。具体来说：

叠加原理：

若系统对输入$u_1（t）$和$u_2（t）$的响应分别为$y_1（t）$和$y_2（t）$，则对于任意常数$C_1$和$C_2$，系统对输入$C_1u_1（t） + C_2u_2（t）$的响应为$C_1y_1（t） + C_2y_2（t）$。

时不变性：

系统的参数和结构不随时间变化，即任意时刻的输入-输出关系与初始条件无关。

二、线性系统的数学表达

线性系统的状态变量$x（t）$与输出变量$y（t）$之间满足线性微分方程：

$$a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1\frac{dy(t)}{dt} + a_0y(t) = b_m\frac{d^mu(t)}{dt^m} + b_{m-1}\frac{d^{m-1}u(t)}{dt^{m-1}} + \cdots + b_1u(t) + b_0u_0$$

其中$a_i$和$b_i$为常数，$u（t）$为输入信号，$u_0$为初始输入条件。

三、线性系统的特性

可加性：

输入信号的叠加对应输出的叠加，即$y（t） = y_1（t） + y_2（t）$。

齐次性：

输入信号乘以常数$k$时，输出信号也乘以相同常数，即$y（t） = ky（t）$。

稳定性和可预测性：

线性系统具有明确的数学模型，响应可分解为稳态和瞬态分量，便于分析和设计。

四、非线性系统的对比

非线性系统不满足叠加原理，输入信号的叠加不等于输出的叠加。例如，平方关系$y（t） = u（t）^2$中，输入$u（t）$加倍时输出变为原来的4倍，而非2倍。

五、应用与意义

线性系统因分析简单、稳定性好，常被理想化用于工程模型（如无线通信、机械系统等）。实际中，通过线性化近似（如泰勒展开）可处理部分非线性问题。

综上，线性系统的核心在于叠加原理和时不变性，其数学表达可通过线性微分方程描述，是工程系统分析和设计的基础。