线性正系统是自动控制领域中具有特定性质的动态系统，其定义和特性可归纳如下：

一、基本定义

线性正系统需同时满足以下两个条件：

线性性：

系统满足叠加性和齐次性。即对于任意输入信号组合，系统的输出是各输入单独作用时输出的线性叠加。

正性：

系统状态变量（如位置、速度、浓度等）始终为非负值，即对于任意时刻$t$和状态向量$x（t）$，有$x_i（t） \geq 0$，$i=1,2,\dots,n$。

二、数学表达

状态方程：$\dot{x}（t） = Ax（t） + Bu（t）$，其中$A$为线性矩阵，$B$为输入矩阵，$x（t）$为状态向量，$u（t）$为输入信号。

输出响应：线性系统对输入信号的响应可表示为时域响应，包含稳态分量和瞬态分量，且系统稳定性由极点位置决定。

三、关键特性

叠加性：

若输入为$u_1（t）$时输出为$y_1（t）$，输入为$u_2（t）$时输出为$y_2（t）$，则输入$u_1（t） + u_2（t）$对应的输出为$y_1（t） + y_2（t）$。

齐次性：

若输入为$ku（t）$（$k$为常数），则输出为$ky（t）$。

状态约束：

所有状态变量$x_i（t）$必须满足$x_i（t） \geq 0$，否则系统被定义为非正系统。

四、应用与挑战

控制方法：传统PID控制可能无法直接应用于正系统，需采用特殊控制策略，如基于线性规划的正系统PID控制。

实际场景：线性编辑系统（如磁带编辑）是线性系统的典型应用，但状态变量可能为负（如磁带倒带）。

五、与其他系统的区别

| 系统类型 | 线性性 | 正性性 | 适用场景 |

|----------------|--------------|--------------|------------------------|

| 线性系统 | 满足叠加性和齐次性 | 可能为负 | 电路分析、经济模型等 |

| 非线性系统 | 不满足叠加性 | 可能为负 | 生物系统、机械系统等 |

| 正系统 | 满足叠加性和齐次性 | 始终非负 | 生物化学过程、安全系统等 |

综上，线性正系统是兼具线性叠加特性与状态非负约束的动态系统，其研究需在传统线性系统分析基础上增加正性约束的考量。