代数系统是数学中研究集合及其运算结构的抽象框架，其核心性质包括以下要点：

一、基本运算性质

封闭性

若代数系统中的任意两个元素通过某种运算后仍属于该系统，则称该运算封闭。例如，实数集对加法和乘法运算封闭，但除法运算不封闭（如5/0无意义）。

结合律

对于任意三个元素a, b, c，若（a * b） * c = a * （b * c），则称运算*满足结合律。例如，实数集的乘法满足结合律。

交换律

若a * b = b * a对任意a, b成立，则称运算*满足交换律。例如，实数集的加法和乘法均满足交换律。

二、特殊元素性质

单位元（幺元）

存在元素e，使得对任意a ∈ S，有e * a = a * e = a。例如，实数集的加法单位元是0，乘法单位元是1。

逆元

若存在元素b ∈ S，使得a * b = b * a = e，则称a的逆元为b。例如，实数集除零元外的所有数都有逆元。

三、其他重要性质

可逆性

若每个元素都有逆元，则称代数系统为群。群需同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。

幂运算性质

当a * a = e时，a称为等幂元，且满足a^m = a * a * ... * a（m个a相乘）。

四、分类与扩展

代数系统可根据运算类型和性质进行分类，例如：

半群：

仅满足封闭性和结合律；

群：在半群基础上增加单位元和逆元；

环：满足加法群和乘法半群的结合律；

域：满足加法、乘法群的性质，且乘法对加法满足分配律。

总结

代数系统的性质为研究其结构与行为提供了基础，不同性质决定了系统的类型和应用领域。例如，群论在密码学、几何学中有重要应用，而矩阵代数则是线性代数的核心内容。