系统函数是信号与系统领域中描述线性时不变系统动态行为的核心数学工具，其定义和特性如下：
一、基本定义
系统函数是输入信号与输出信号之间的数学关系，通常表示为复变量 $s$ 的有理函数：
$$H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_ns^{-n}}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + \cdots + a_ms^{-m}}$$
其中，$a_i$ 和 $b_i$ 为实系数，$m$ 和 $n$ 分别为分母和分子的阶数。
二、极点与零点的特性
极点与零点的对称性 系统函数的极点（使分母为零的 $s$ 值）和零点（使分子为零的 $s$ 值）均位于复平面的实轴上或关于实轴对称的虚轴上。
收敛域的重要性
极点分布由收敛域决定，收敛域范围直接影响系统的稳定性。例如，单位圆内的极点对应因果稳定系统，单位圆外的极点对应因果不稳定系统。
三、应用与分类
信号处理
通过单位脉冲响应 $h（n）$ 的 Z 变换得到系统函数，描述离散系统的动态行为。
系统分析
- 稳定性： 极点位于单位圆内为稳定系统，位于单位圆外为不稳定系统。 - 因果性
- 线性时不变性：满足叠加原理和时移特性。
其他领域
除信号处理外，系统函数还应用于控制系统、通信系统、金融技术分析（如股票指标计算）等领域。
四、典型示例
对于离散时间系统，若单位脉冲响应为 $h（n）$，则系统函数为：
$$H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) z^{-n}$$
例如，一个简单的一阶系统 $h（n） = \delta（n-1）$，其系统函数为 $H（z） = z^{-1}$。
综上，系统函数通过复数域的数学模型，简洁地描述了线性时不变系统的输入输出关系，并为系统分析提供了重要工具。
