线性系统是数学模型中具有特定性质的函数系统，其核心特征包括叠加性、均匀性（或齐次性）等。以下是线性系统的关键要点：

一、基本定义

线性系统需同时满足以下两个基本性质：

叠加性：

当多个输入信号共同作用时，总输出等于各输入单独作用时输出之和。即若输入为$u_1（t）$时输出为$y_1（t）$，输入为$u_2（t）$时输出为$y_2（t）$，则输入为$C_1u_1（t） + C_2u_2（t）$时输出为$C_1y_1（t） + C_2y_2（t）$。

均匀性（齐次性）：

输入信号按比例变化时，输出也按相同比例变化。即若输入信号增大$k$倍，输出也增大$k$倍，无额外非线性项引入。

二、数学表达

线性系统的状态变量$x$与输出变量$y$之间的关系通常由线性微分方程或差分方程描述，例如：

$$\dot{x} = Ax + Bu$$

其中$A$为系统矩阵，$B$为输入矩阵，$u$为输入信号，$x$为状态变量。

三、其他重要性质

时不变性：

系统特性不随时间变化，即输入信号延迟$\tau$秒后，输出仅延迟$\tau$秒，其余部分保持不变。

分解性：

响应可分解为零输入响应（由初始状态引起）和零状态响应（由输入引起）。

四、典型应用领域

线性系统因理论成熟、计算简便，广泛应用于：

自动控制：如PID控制器

信号处理：如滤波器设计

电信工程：如无线信号传播模型

五、非线性系统的对比

非线性系统不满足叠加性，其输出与输入关系可能呈现曲线或突变，例如：

人口增长模型（指数增长）

弹簧系统（超过弹性限度后）

大气动力学系统

总结

线性系统通过叠加性和均匀性两个核心特性，简化了分析和设计过程，是工程实践中最常用且理论完善的系统模型之一。