代数系统是数学中研究集合与运算之间关系的抽象结构，其核心要素包括非空集合、定义在该集合上的运算及运算的封闭性。以下是常见的代数系统示例：

一、基本代数系统

实数集与四则运算

实数集 $\mathbb{R}$ 上的加法、减法、乘法、除法（除数不为零）构成代数系统，满足封闭性、结合律、交换律等性质。

矩阵运算

全体 $n$ 阶实方阵集合 $M_n（\mathbb{R}）$ 上的矩阵乘法构成代数系统，满足封闭性、结合律，但一般不满足交换律。

二、特殊代数结构

群

满足封闭性、结合律、存在幺元且每个元素存在逆元的代数系统。例如整数集 $\mathbb{Z}$ 在加法下构成群，实数集 $\mathbb{R}$ 在乘法下（除零元）构成群。

环

满足封闭性、结合律，但乘法不一定满足交换律的代数系统。例如多项式环 $\mathbb{R}[x]$，加法和乘法构成环。

域

满足环的所有性质且乘法满足交换律的代数系统，如实数域 $\mathbb{R}$、复数域 $\mathbb{C}$。

三、其他示例

向量空间：

全体向量构成的集合及其线性运算（加法、数乘），满足封闭性、结合律等。

偏序集：带有偏序关系（如“≤”）的集合，满足自反性、反对称性、传递性。

格：偏序集的扩展，任意两个元素存在最大下界和最小上界。

四、抽象代数中的代数系统

在抽象代数中，代数系统可包含多元运算，例如：

三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 上的向量加法和数量积运算；

代数闭包（如多项式方程的根集）。

总结

代数系统的核心在于通过运算构造数学模型，不同类型的代数结构（如群、环、域）分别对应不同的数学性质和应用场景。理解这些结构有助于掌握抽象数学的基本框架。